Apostilas de Álgebra linear
Transformações lineares: Isomorfismo e Automorfismo
Isomorfismo e Automorfismo Exemplos
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Exemplo 1: A transformação linear T : R2 −→ R2 dada por: T(x, y) = (x − 2y, y) é um isomorfismo (automorfismo do R2).
Para mostrar que T é injetora, basta determinar o núcleo de T. Um elemento do R2 pertence
ao núcleo se:
T(x, y) = (x − 2y, y) = (0, 0) ⇔
x − 2y = 0 y = 0 ⇒
x = 0 y = 0
Assim, N (T) = {(0, 0)} e portanto, T é injetora. Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos: dim(R2) = dim(N (T)) + dim(Im(T)) ⇒ dim(R2) = dim(Im(T)). Logo, como a dimensão da imagem de T é igual a dimensão do espaço de chegada, então T é sobrejetora.
Sendo injetora e sobrejetora, temos que T é bijetora e portanto é um isomorfismo. Exemplo 2: A transformação linear T : R3 −→ R3 dada por:
T(x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, z)
é um isomorfismo (automorfismo do R3).
Vamos mostrar que T é sobrejetora e injetora, assim mostrando que é um automorfismo do R3.
Vamos determinar o núcleo de T. Um elemento do R3 pertence ao núcleo se:
T(x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, z) = (0, 0, 0) ⇔
Assim, N (T) = {(0, 0, 0)} e portanto, T é injetora.
x − 3y − 2z = 0 y − 4z = 0
z = 0
⇒
x = 0 y = 0 z = 0
Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos que dim(R3) = dim(N (T)) + dim(Im(T)) ⇒ dim(Im(T)) = dim(R3) e portanto, T é sobrejetora.
Como T é injetora e sobrejetora, ela é bijetora e logo, é um isomorfismo, e nesse caso, como os espaços vetoriais de saída e chegada são iguais, dizemos que T é um automorfismo.
Se usarmos o teorema que diz que dois espaços vetoriais são isomorfos se, e somente se, eles tem a mesma dimensão, então o resultado seria imediato.
Exemplo 3: Determinar o isomorfismo inverso de T : R3 −→ R3 dado por: T(x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, z).
Vamos encontrar uma expressão para T−1, o isomorfismo inverso de T. Lembrando que se T−1é isomorfismo inverso de T, então T(u) = v ⇒ u = T−1(v). Assim, supondo que T−1(x, y, z) = (a, b, c) temos que:
(x, y, z) = T(a, b, c) = (a − 3b − 2c, b − 4c, c) ⇔
a − 3b − 2c = x b − 4c = y
c = z
⇒
a = x + 3y + 14z b = y + 4z
c = z
Logo, temos: T−1(x, y, z) = (x + 3y + 14z, y + 4z, z), e esta é a expressão do isomorfismo inverso de T.
Exemplo 4: A transformação linear T : R3 −→ R4 dada por T(x, y, z) = (x, x − y, y − z, z) NÃO é um isomorfismo.
Um elemento pertence ao núcleo de T se:
T(x, y, z) = (x, x − y, y − z, z) = (0, 0, 0, 0) ⇔
x = 0
x − y = 0 y − z = 0 z = 0 ⇒ x = 0 y = 0 z = 0
Assim, N (T) = {(0, 0, 0)} e portando T é injetora. Porém, pelo teorema do núcleo e da ima gem teremos: dim(R3) = dim(N (T)) + dim(Im(T)) ⇒ dim(Im(T)) = 3. O que implica que Im(T) 6= R4e portanto, T NÃO é sobrejetora, logo T não é bijetora e não é um isomorfismo.
Exemplo 5: A transformação linear T : R3 −→ R dada por T(x, y, z) = x + y + z NÃO é um isomorfismo.
De fato, T não é injetora, pois um elemento pertence ao núcleo de T se: T(x, y, z) = x + y + z = 0 ⇒ x = −y − z
Assim, N (T) = {(x, y, z) | x = −y − z}, logo T NÃO é injetora, pois dim(N (T)) 6= 0. Dessa forma, T não é bijetora e portando não é um isomorfismo.
Exemplo 6: A transformação linear T : R3 −→ P2(R) definida por:
T(a, b, c) = (a − b) + (c − a)x + (b + c)x2
é um isomorfismo de R3em P2(R).
Vamos mostrar que T é injetora. Um elemento (a, b, c) ∈ R3 pertence ao núcleo de T se sua imagem pela transformação T for o elemento neutro de P2(R), ou seja, se:
T(a, b, c) = (a − b) + (c − a)x + (b + c)x2 = 0 + 0x + 0x2 ⇔ a = 0 b = 0 c = 0
Assim, N (T) = {(0, 0, 0)} e portanto, T é injetora.
Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos dim(R3) = dim(N (T))+dim(Im(T)) ⇒ dim(Im(T)) = 3 logo dim(Im(T)) = dim(P2(R)) e portanto, T é sobrejetora.
Como T é injetora e sobrejetora ela é bijetora, logo é um isomorfismo de R3em P2(R).
Vamos determinar o isomorfismo inverso T−1: P2(R) −→ R3.
Suponha que T−1(α1 + α2x + α3x2) = (a, b, c). Logo, temos:
(α1 + α2x + α3x2) = T(a, b, c) = (a − b) + (c − a)x + (b + c)x2 ⇔